В даному уроці розміщені формули і завдання на знаходження площі рівнобедреного трикутника. Формули забезпечені поясненнями і коментарями. На окремому малюнку наведено відповідність умовних позначень формул і елементів рівнобедреного трикутника. Далі наведено розділ з прикладами розв'язання задач.
Див. Також:
Буквені позначення сторін і кутів на наведеному малюнку відповідають позначенням, які вказані в формулах. Таким чином, це допоможе Вам зіставити їх з елементами рівнобедреного трикутника. З умови задачі визначте, які елементи відомі, знайдіть на кресленні їх позначення і підберіть відповідну формулу.
Формула площі рівнобедреного трикутника
Далі наведені формули знаходження площі рівнобедреного трикутника: через сторони, бічну сторону і кут між ними, через бічну сторону, підстава та кут при вершині, через сторону підстави і кут при підставі і т.д. Просто знайдіть найбільш підходящу на малюнку зліва. Для самих цікавих в тексті справа пояснюється, чому формула явяляется правильної і як саме з її допомогою знаходиться площа.
- Площа рівнобедреного трикутника можна знайти, знаючи його сторону і підстава. Цей вираз було отримано шляхом спрощення більш загальної, універсальної формули. Якщо за основу взяти формулу Герона, а потім прийняти до уваги, що дві сторони трикутника рівні поміж собою, то вираз спрощується до формули, представленої на зображенні.
Приклад використання такої формули наведено на прикладі рішення задачі нижче. - Друга формула дозволяє знайти його площа через бічні сторони і кут між ними - це половина квадрата збоку, помножена на синус кута між бічними сторонами
Якщо подумки опустити висоту на бічну сторону рівнобедреного трикутника, зауважимо, що її довжина буде дорівнює a * sin β. Оскільки довжина бокової сторони нам відома, висота, опущена на неї тепер відома, половина їх твори і буде дорівнює площі даного рівнобедреного трикутника (Пояснення: повне твір дає площа прямокутника, що очевидно. Висота ділить цей прямокутник на два малих прямокутника, при цьому сторони трикутника є їх діагоналями, які ділять їх рівно навпіл. Таким чином, площа рівнобедреного трикутника і буде дорівнює половині твори збоку на висоту). Див. Також Формулу 5 - Третя формула показує знаходження площі через бічну сторону, підстава та кут при вершині.
Строго кажучи, знаючи один з кутів рівнобедреного трикутника, можна знайти і інші, тому застосування даної або попередньої формули - питання смаку (до речі, тому можна запам'ятати тільки одну з них).
У третій формули також є ще одна цікава особливість - твір a sin α дасть нам довжину висоти, опущеної на підставу. В результаті ми отримаємо просту і очевидну формулу 5. - Площа рівнобедреного трикутника можна також знайти через сторону підстави і кут при підставі (кути при основі рівні) як квадрат підстави, поділений на чотири тангенса половини кута, утвореного його бічними сторонами. Якщо придивитися уважніше, то стане очевидно, що половина підстави (b / 2) помножена на tg (β / 2) дасть нам висоту трикутника. Оскільки висота в трикутник є, одночасно, биссектрисой і медіаною, то tg (β / 2) - це відношення половини підстави (b / 2) до висоти - tg (β / 2) = (b / 2) / h. Звідки h = b / (2 tg (β / 2)). В результаті формула знову буде зведена до більш простої Формулі 5, яка цілком очевидна.
- Зрозуміло, площа рівнобедреного трикутника можна знайти, опустивши висоту з вершини на підставу, в результаті чого вийде два прямокутних трикутника. Далі - все очевидно. Половина твори висоти на підставу і є шукана площа. Приклад використання цієї формули см. В завданні нижче (2-й спосіб вирішення)
- Ця формула виходить, якщо спробувати знайти площу рівнобедреного трикутника за допомогою теореми Піфагора. Для цього висловимо висоту з попередньої формули, яка одночасно, є катетом прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, половиною його заснування і висотою, через теорему Піфагора. Бічна сторона є гіпотенузою, тому з квадрата збоку (а) віднімемо квадрат другого катета. Оскільки він дорівнює половині підстави (b / 2) то його квадрат дорівнюватиме b2 / 4. Витяг кореня з даного вираження і дасть нам висоту. Що і видно в Формулі 6. Якщо чисельник і знаменник помножити на два, а потім двійку чисельника внести під знак кореня, отримаємо другий варіант тієї ж самої формули, який написаний через знак "дорівнює".
До речі, найкмітливіші можуть побачити, що якщо в Формулі 1 розкрити дужки, то вона перетворитися в Формулу 6. Чи навпаки, різниця квадратів двох чисел, розкладена на множники, дасть нам вихідну, першу.
Позначення, які були застосовані в формулах на малюнку:
a - довжина однієї з двох рівних сторін трикутника
b - довжина підстави
α - величина одного з двох рівних кутів при підставі
β - величина кута між рівними сторонами трикутника і протилежного його основи
h - довжина висоти, опущена з вершини рівнобедреного трикутника на підставу
Важливо. Зверніть увагу на позначення змінних! Чи не переплутайте α і β, а також a і b!
Див. Також: інші формули і властивості рівнобедреного трикутника
Примітка. Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ площа рівнобедреного трикутника). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі при вирішенні. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Для позначення дії добування квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ √ або sqrt (), при чому в дужках вказано подкоренное вираз.
завдання
Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 13 см, а основа дорівнює 10 см. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника.
Рішення.
1-й спосіб.
Застосуємо формулу Герона. Оскільки трикутник рівнобедрений, то вона прийме більш простий вигляд (див. Формулу 1 в списку формул вище):
де а - довжина бічних сторін, а b - довжина підстави.
Підставивши значення довжин сторін трикутника з умови задачі, отримаємо:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 см2
2-й спосіб. Застосуємо теорему Піфагора
Припустимо, що ми не пам'ятаємо формулу, використану в першому способі рішення. Тому опустимо з вершини B на підставу AC висоту BK.
Оскільки висота рівнобедреного трикутника ділить його підставу навпіл, то довжина половини підстави буде дорівнює
AK = AC / 2 = 10/2 = 5 см.
Висота з половиною підстави і стороною рівнобедреного трикутника утворює прямокутний трикутник ABK. У цьому трикутнику нам відома гіпотенуза AB і катет AK. Висловимо довжину другого катета через теорему Піфагора.
Відповідно, висота буде дорівнює:
h = √ (132 - 52) = √144 = 12 см
Площа вихідного рівнобедреного трикутника ABC дорівнюватиме площі двох прямокутних трикутників ABK і CBK, утворених бічними сторонами, висотою і половинами підстави рівнобедреного трикутника. Обидва прямокутних трикутника рівні між собою. Гіпотенузи - це сторони рівнобедреного трикутника, тому вони рівні, один з катетів - загальний, а, оскільки, BK одночасно є і бісектрисою і висотою, то, відповідні кути є рівними. Тому нам буде достатньо знайти площу одного з них і помножити отримане число на два.
Як видно, обидва способи вирішення дають один і той же результат.
Відповідь: Площа рівнобедреного трикутника становить 60 см2.
